Willst du also behaupten, dass aus x Element von y Element von z nicht folgt, dass x ein Element von einem Element von z ist?Nö.
Wie verlässlich sind deiner Meinung nach die Aussagen eines widersprüchlichen Systems?Es gibt keine "widerspruchsfreie Mengenlehre", in der jeder wahre Satz beweisbar ist.
Gottlob Frege versuchte 1893 ebenfalls, die Arithmetik in einer Logik mit Klassenbaustein zu begründen; in ihr entdeckte Bertrand Russell 1902 aber einen Widerspruch, der als Russellsche Antinomie bekannt wurde. Dadurch wurde allgemein bewusst, dass man den Klassenbaustein nicht bedenkenlos verwenden kann.
Transitivität heißt: für alle x,y,z gilt: xRy und yRz => xRz.Beowulf hat geschrieben:Willst du also behaupten, dass aus x Element von y Element von z nicht folgt, dass x ein Element von einem Element von z ist?
Das (und nur das) ist die Aussage, die im Rahmen des Widerspruchsbeweis auf Wikipedia widerlegt wurde, und hier offensichtlich wiederum eine Prämisse, die du einführst.Beowulf hat geschrieben:Angenommen, f sei eine surjektive Abbildung f(x) -> P(X);
Hier verwendest du deine Prämisse. Das kannst du natürlich machen, es ist aber nur im Zusammenhang mit einem Widerspruchsbeweis sinnvoll, denn...Beowulf hat geschrieben: ...
Da wir annehmen, f sei surjektiv, gibt es ein x0 Element von X mit f(x0)´ = A´.
...die Aussagen, die du jetzt erhältst, haben keinen Wert, da du sie unter Verwendung deiner Prämisse generierst. Ist diese falsch (was du nicht ausgeschlossen hast), dann basieren deine Schlüsse auf einer falschen Annahme.Beowulf hat geschrieben: Versuchen wir, x0 zu lokalisieren:
1) x0 Element von A´ => x0 Element von f(x)´ => x0 Element von A´
2) x0 Element von X / A´ => x0 kein Element von f(x)´ => x0 kein Element von A´
Richtig. Wie oben schon gesagt: {1} ist Element von {{1}}, aber 1 ist kein Element von {{1}}.Beowulf hat geschrieben:Willst du also behaupten, dass aus x Element von y Element von z nicht folgt, dass x ein Element von einem Element von z ist?
Ich habe nicht gesagt, dass ZF widersprüchlich ist. Es ist kein Widerspruch in ZF bekannt, man kann nur innerhalb von ZF die eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen. Das kann man aber in keinem hinreichend mächtigen System (Unvollständigkeitssatz).Beowulf hat geschrieben:Wie verlässlich sind deiner Meinung nach die Aussagen eines widersprüchlichen Systems?
Welche Analogie?Floyd hat geschrieben:Jan hat eigentlich eine wunderbar verständliche Analogie gebracht, wieso bist du darauf nicht eingegangen?
Jeder mathematisch korrekte und hinreichende Beweis führt bei einer falschen Prämisse zu einem Widerspruch. Selbst wenn du schon auf 100 verschiedene Arten bewiesen hast, dass z.B. eins plus eins ungleich drei ist, dann muss der 101. Beweis ebenfalls einen Widerspruch generieren.Floyd hat geschrieben:Das (und nur das) ist die Aussage, die im Rahmen des Widerspruchsbeweis auf Wikipedia widerlegt wurde, und hier offensichtlich wiederum eine Prämisse, die du einführst.
Du hast meine Frage nicht richtig gelesen. Ich stelle sie extra für dich nochmal: Willst du also behaupten, dass aus x Element von y Element von z nicht folgt, dass x ein Element von einem Element von z ist?DasJan hat geschrieben:Richtig. Wie oben schon gesagt: {1} ist Element von {{1}}, aber 1 ist kein Element von {{1}}.
Dann würdest du verstehen, dass der Ausdruck A := {x | x kein Element von f(x)} keine Menge, sondern eine Klasse ist. Und bei dieser speziellen Klasse haben die Relationen "Element von" und "nicht Element von" keine Aussagekraft mehr. Das meinte ich mit der Intransitivität der "nicht Element von"-Relation.Der Unvollständigkeitssatz besagt, dass man nicht alle Sätze beweisen kann.stundenglas hat geschrieben:Es mündet förmlich in dem Unvollständigkeitsatz von Kurt Gödel.
Aber man kann durchaus beurteilen, ob dieses Programm unendlich lange durchläuft oder nicht. Ein Programm diesbezüglich zu testen bedeutet nicht, dieses in einer Art Simulationsmodus durchlaufen zu lassen. Denn es gibt durchaus Kriterien, mit denen man Endlosschleifen von endlichen Schleifen unterscheiden kann.stundenglas hat geschrieben:Wenn du ein Programm hast das alle Primzahlen berechnen soll läuft dies Unendlich, weil man die Aufgabe nicht lösen kann.
Jein, er sagt aus das man um die Vollständigkeit ein Systemes zu beweisen ihm ein übergeordnetes System überstülpen müsste, das aber nicht funktioniert weil man genau so weit kommt wie zuvor und wieder aus einem übergeordneten System heraus den Beweis antreten müsste und um das zu lösen wieder ein übergeordnetes System.. (was sich endlos so Fortsetzen lässt.). Bin kein Mathematiker, aber so hab ich das Verstanden.Beowulf hat geschrieben: @stundenglas:Der Unvollständigkeitssatz besagt, dass man nicht alle Sätze beweisen kann.stundenglas hat geschrieben:Es mündet förmlich in dem Unvollständigkeitsatz von Kurt Gödel.
Nein. Denn zum Zeitpunkt wo das Programm läuft ist ja nicht absehbar ob es anhält oder nicht. Wenn ich in einem Programm einen Zähler Verstecke der bei 100 abbrechen soll. Kannst du vorher nicht erkennen wenn das System erst bei 78 ist. Ob es bei 79 abbricht oder nicht. Beendest du es findest du nicht mal heraus wo es Abbricht. Bei Primzahlen ist das schlimmer. Da gibt es ja immer grössere. Der Computer spuckt dir auch Zahlen aus aber er wird wahrscheinlich nie damit Aufhören. Trotzdem kann man nicht belegen ob nach 230293057 Vielleicht keine Priemzahl mehr kommt ohne es zu Berechnen. Aber selbst wenn man bis da berechnet hat gibt esBeowulf hat geschrieben:Aber man kann durchaus beurteilen, ob dieses Programm unendlich lange durchläuft oder nicht.stundenglas hat geschrieben:Wenn du ein Programm hast das alle Primzahlen berechnen soll läuft dies Unendlich, weil man die Aufgabe nicht lösen kann.
Schon klar, aber nur durch ausprobieren oder einer Analyse des Quellcodes. Anderes Beispiel: Teilt man 10 durch 3 merkt jeder Grundschüler nach einigen Momenten wie Sinnlos das ist. Jetzt stelle dir aber einen Bruch vor der erst nach (weiteren) 102.000.230.340 Ziffern anfängt sich in dem Bruch zu wiederholen. Selbst wenn wir davon Ausgehen das du unendlich Speicherplatz hast. Wird das Programm nie anhalten.Ein Programm diesbezüglich zu testen bedeutet nicht, dieses in einer Art Simulationsmodus durchlaufen zu lassen. Denn es gibt durchaus Kriterien, mit denen man Endlosschleifen von endlichen Schleifen unterscheiden kann.
Vermute ich das deine Definition von ist nicht, nicht Vollständig ist. Es ist nicht nur der Rest, sondern auch die anderen Mengen du vorher nicht Definiert hast. Mal angenommen wir Bewegen uns nur in deiner Annahme, alles säuberlich zurechtgelegt. Dann impliziert die Surjektivität aber trotzdem noch das verschiedene Elemente Doppelt zugewiesen sein können.das Komplement der leeren Menge ist die Menge aller Zahlen. Bei einer dreielementigen Menge {1, 2, 3} wäre das Komplement von {1} die Menge {2, 3}. Und wenn z.B. f(2) = {1}, und damit 2 nicht Element von {1}, so wäre aber 2 auf jeden Fall im Komplement enthalten, und zwar in {2, 3}.
Ich denke es ging um diese hier.Beowulf hat geschrieben:Welche Analogie?Floyd hat geschrieben:Jan hat eigentlich eine wunderbar verständliche Analogie gebracht, wieso bist du darauf nicht eingegangen?
DasJan hat geschrieben:Betrachten wir die Behauptung 0 = 2. Jetzt ziehe ich von beiden Seiten 1 ab (-1 = 1) und quadriere beide Seiten. Dann steht da 1 = 1, was offenbar richtig ist. Die Praemisse 0 = 2 ist damit aber noch laengst nicht bewiesen. Sie ist sogar falsch.
Du behauptest ja sogar mehr. Du behauptest, dass jede beliebige Schlussfolgerung einer falschen Annahme zu einem Widerspruch führt, und genau das hat Jan bereits widerlegt. Mir ist allerdings nicht klar, was du mit "hinreichend" in diesem Zusammenhang meinst.Beowulf hat geschrieben:Jeder mathematisch korrekte und hinreichende Beweis führt bei einer falschen Prämisse zu einem Widerspruch.
Das ist schlicht falsch und offenbart ein grundlegendes Unverständnis für das, worüber wir hier reden.Beowulf hat geschrieben:Der Beweis auf Wikipedia und mein Komplementbeweis sind aber derart analog, aber in ihrer Aussage widersprüchlich, dass man daraus folgern muss, dass beide Beweise keine Aussage über die Prämisse treffen.
Noch ein neues Fass? Vielleicht kriegen wir wenigstens das schnell wieder zu: A ist tatsächlich eine Menge.Beowulf hat geschrieben:Dann würdest du verstehen, dass der Ausdruck A := {x | x kein Element von f(x)} keine Menge, sondern eine Klasse ist. Und bei dieser speziellen Klasse haben die Relationen "Element von" und "nicht Element von" keine Aussagekraft mehr.
Douglas Adams hat geschrieben:The storm had now definitely abated, and what thunder there was now grumbled over more distant hills, like a man saying "And another thing…" twenty minutes after admitting he's lost the argument.
Liest du eigentlich, was andere schreiben? Dass deine analoge Konstruktion keine widersprüchlichen Aussagen generiert, beweist nichts, wie DasJans Analogie zeigt. Denk' doch bitte mal darüber nach, ob an dieser Aussage nicht doch etwas dran sein könnte - es ist ja nicht so, dass du hier das erste Mal darauf hingewiesen wirst.Beowulf hat geschrieben:Der Beweis auf Wikipedia und mein Komplementbeweis sind aber derart analog, aber in ihrer Aussage widersprüchlich, dass man daraus folgern muss, dass beide Beweise keine Aussage über die Prämisse treffen.
Jan hat deine Frage nicht richtig gelesen, das stimmt. Er hat die Frage beantwortet, die du eigentlich hättest stellen müssen. Wie ich oben schon ausgeführt habe, führst du einfach eine neue Relation ein, was keinen Sinn macht. Wieso gehst du darauf nicht erstmal ein, bevor du mit Mengen und Klassen argumentierst? Sonst macht es in meinen Augen keinen Sinn, weiterzudiskutieren.Beowulf hat geschrieben:Du hast meine Frage nicht richtig gelesen. Ich stelle sie extra für dich nochmal: Willst du also behaupten, dass aus x Element von y Element von z nicht folgt, dass x ein Element von einem Element von z ist?
Nein, wozu sollte ich?Floyd hat geschrieben:Liest du eigentlich, was andere schreiben?
Jans Analogie taugt nichts, da sie mathematisch nicht korrekt ist. Aus a²=b² folgt eben nicht zwangsläufig, dass a=b ist. Diese Schlussfolgerung darf nicht gezogen werden.Floyd hat geschrieben: Dass deine analoge Konstruktion keine widersprüchlichen Aussagen generiert, beweist nichts, wie DasJans Analogie zeigt.
Welche Fragen ich stelle, das bestimme ich immer noch selber!Floyd hat geschrieben:Jan hat deine Frage nicht richtig gelesen, das stimmt. Er hat die Frage beantwortet, die du eigentlich hättest stellen müssen. Wie ich oben schon ausgeführt habe, führst du einfach eine neue Relation ein, was keinen Sinn macht.
Auch auf die Gefahr hin dass dies für gewisse Leute ab und zu mal unbequem werden sollte.Nein, ist sie nicht. Nicht jede Klasse ist eine Menge. Für eine Menge bedarf es schon ein paar Voraussetzungen mehr. Informiere dich da bitte etwas besser.elevar hat geschrieben:Vielleicht kriegen wir wenigstens das schnell wieder zu: A ist tatsächlich eine Menge.
Dass dies so sein muss, wird aber erst durch den "Beweis" suggeriert. Aber prinzipiell besteht keine Notwendigkeit darin, überhaupt erst auf solche Klassen zurückgreifen zu müssen. Denn dass ein System nicht vollständig sein kann, das ist ja erst einmal nicht sonderlich tragisch. Du rennst da bei mir offene Türen ein: Ich will nicht behaupten dass es eine surjektive Abbildung gibt (es spricht einfach zu viel dagegen), sondern lediglich die Schwächen des einen speziellen Beweises aufzeigen.stundenglas hat geschrieben:Es wird nur nie Enden (das mit dem A' und A'') weil das System nie Vollständig sein kann. Denn immer wenn du versuchst eine neue "übergeordnete Menge zu erzeugen die alles Beinhaltet" ist die neue Definition die hinzukommt (Definition von A'' ist A' plus A (x || nicht x) nicht in der Menge zuvor enthalten.
Das Programm "läuft" aber nicht. Ein einfaches Beispiel:stundenglas hat geschrieben:Nein. Denn zum Zeitpunkt wo das Programm läuft ist ja nicht absehbar ob es anhält oder nicht. Wenn ich in einem Programm einen Zähler Verstecke der bei 100 abbrechen soll. Kannst du vorher nicht erkennen wenn das System erst bei 78 ist. Ob es bei 79 abbricht oder nicht. Beendest du es findest du nicht mal heraus wo es Abbricht. Bei Primzahlen ist das schlimmer. Da gibt es ja immer grössere.
Code: Alles auswählen
int i := 1;
while (i != 0) {
i := i + 1;
}
) Folgendes Beispiel hat zwar eine gültige Abbruchbedingung, aber diese ist von der Eingabe abhängig:
Code: Alles auswählen
int i := 0;
readln (x);
while (i != x) {
i := i + 1;
}Nein, diese Art der Analysis war mir bisher nicht geläufig. Danke für den Hinweis!stundenglas hat geschrieben:Hast du dir schon mal die Nichtstandardanalysis angesehen? Wenn dich das so sehr interessiert dann rate ich dir einfach mal in einer Bücherei nach Büchern über die Zeitgeschichte der Mathematik zu suchen und zu lesen. Es ist sehr interessant und die Verschiedenen Ideen + Ansätze verschärfen das Bild/Vorstellung der Mathematik und helfen sich zu Orientieren.
Sorry, aber du hast offensichtlich überhaupt nicht verstanden, worum es in der Analogie geht.Beowulf hat geschrieben:Jans Analogie taugt nichts, da sie mathematisch nicht korrekt ist. Aus a²=b² folgt eben nicht zwangsläufig, dass a=b ist. Diese Schlussfolgerung darf nicht gezogen werden.
Die Lokalisierung gelingt unter der Prämisse, dass die surjektive Funktion f existiert. Das hast du aber nicht gezeigt, du setzt es einfach voraus. Zeig' erstmal, dass es diese Abbildung gibt.Beowulf hat geschrieben:Mein Komplementbeweis zeigt nur, dass durch diese "Umordnung" die Lokalisation des x0 gelingt. Nicht mehr, aber auch nicht weniger. Er sagt nichts über die Surjektivität von f aus, aber das war ja auch nicht mein Ziel.
Beowulf, der Revoluzzer der MathematikBeowulf hat geschrieben:Welche Fragen ich stelle, das bestimme ich immer noch selber!
Ich führe keine neue Relation ein, sondern ich habe lediglich die Definition von Transitivität etwas "gelockert", in der Hoffnung gewisse Dinge anschaulicher gestalten zu können.
.Genau, deswegen ist das eben kein Beispiel für ein Halteproblem.Man kann durchaus beurteilen, ob diese Schleife eine gültige Abbruchbedingung enthält oder nicht. Obiges Beispiel hat keine, da i nie gleich 0 wird.
Ein "geht nicht" wäre eben kein Fortschritt, da es keinen Informationsgewinn darstellt. Ein geht nicht Klingt wie ein nein, aber das ist nicht der Fall. Es wäre eher ein "Vielleicht" oder "unbekannt". Aber das verbessert die Lage nicht.Denn ein Haltetestprogramm, welches (fast) immer "ja" und "nein" zurückliefert und nur bei gewissen Paradoxien ein "geht nicht", wäre ja schon ein gewaltiger Fortschritt.
Aber man kann eben nicht vorhersagen in welche Zustände das System fällt. Bezw. wenn man es kann ist es kein Halteproblem.Es ist nicht möglich irgendetwas zu "verstecken", da sowohl das Programm als auch die Eingabe für das Halteproblem bekannt sein müssen.
Nein, das will ich nicht behaupten. Aus "x ist ein Element von einem Element von y" folgt aber nicht "x ist ein Element von y".Beowulf hat geschrieben:Du hast meine Frage nicht richtig gelesen. Ich stelle sie extra für dich nochmal: Willst du also behaupten, dass aus x Element von y Element von z nicht folgt, dass x ein Element von einem Element von z ist?
Offenbar haben meine paar Semester ausgereicht, denn den Unterschied kenne ich. Ich wollte nur nicht anfangen, dir den Unterschied zwischen Menge und Klasse zu erklären, bevor du verstanden hast, was "Element von" bedeutet.Beowulf hat geschrieben:Vielleicht hättest du noch ein paar Semester an dein Studium dranhängen sollen.
"x Element von K" für eine Klasse K ist aber schon definiert.Beowulf hat geschrieben:Und bei dieser speziellen Klasse haben die Relationen "Element von" und "nicht Element von" keine Aussagekraft mehr.
Wenn eine Relation "keine Aussagekraft hat", wie kann sie dann intransitiv sein?Beowulf hat geschrieben:Das meinte ich mit der Intransitivität der "nicht Element von"-Relation.
Es ist nicht hilfreich, Funktionen zu personifizieren. Funktionen sind nicht überfordert von irgendwas. f(A) ist schlicht nicht definiert.Beowulf hat geschrieben:Wenn man der Funktion f die Klasse A vorlegt, überfordert man diese einfach prinzipiell.
Floyd, du vermischst da etwas: Man kann nicht mit mathematisch gültigen Umformungen eine falsche Aussage in eine wahre umwandeln. Jedes mal, wenn ich eine falsche Prämisse in einem Beweis verwende (egal ob diese schon in einer anderen Form widerlegt wurde), muss ein korrekter und hinreichender Beweis zu einem Widerspruch führen. Die Prämisse "2 = 0" wird deshalb bei jedem korrekten und hinreichenden Beweis zu einem Widerspruch führen!Floyd hat geschrieben:Fakt ist: In deiner Beweisführung verwendest du eine falsche Annahme (die surjektive Abbildung f existiert) und erhältst dann zwei Aussagen, die sich nicht widersprechen. Die Analogie hierzu ist, dass Jan eine falsche Aussage (2 = 0) nimmt und sie zu einer wahren Aussage (1 = 1) umformt. Dass (wie bei dir) am Ende etwas Wahres steht, beweist also nicht, dass oben nichts Falsches behauptet wurde. Genau genommen hast du gar keine neue Erkenntnis.
Nein, die Lokalisierung gelingt unter der Prämisse, dass A eine Klasse ist, für die die Element-Relationen zulässig sind... A sich also diesbezüglich wie eine Menge verhält. Der Beweis zeigt aber lediglich, dass A keine Menge ist... und genau dies ist das Problem.Floyd hat geschrieben:Die Lokalisierung gelingt unter der Prämisse, dass die surjektive Funktion f existiert. Das hast du aber nicht gezeigt, du setzt es einfach voraus. Zeig' erstmal, dass es diese Abbildung gibt.
Dann erkläre bitte, welche der Umformungen, mit denen man von 2 = 0 zu 1 = 1 kommt, mathematisch ungültig ist.Beowulf hat geschrieben:Floyd, du vermischst da etwas: Man kann nicht mit mathematisch gültigen Umformungen eine falsche Aussage in eine wahre umwandeln.
Beowulf, selbst wenn du Recht hättest, müsstest du trotzdem erst einmal zeigen, dass die Abbildung f existiert. Diese Bedingung verschwindet nicht dadurch, dass du deinen Fokus auf ein vermeintlich anderes Problem verlagerst. Solange du eine nicht verifizierte Prämisse verwendest, brauchen wir nicht über Mengen und Klassen zu diskutieren. Das ist wiederum das Problem deiner analogen Konstruktion - sie ist in Analogie zu einem Widerspruchsbeweis konstruiert, ohne selbst einer zu sein.Beowulf hat geschrieben:Nein, die Lokalisierung gelingt unter der Prämisse, dass A eine Klasse ist, für die die Element-Relationen zulässig sind... A sich also diesbezüglich wie eine Menge verhält. Der Beweis zeigt aber lediglich, dass A keine Menge ist... und genau dies ist das Problem.
