Halteproblem

[Floyd]

Bin zwar eigentlich ziemlich im Klausurstress, aber:

Nein, es gibt zwei Arten von Beweise: Welche die zu Widersprüchen führen, und welche die es nicht tun. Die erste Art zeigt dass die Annahme falsch war, die zweite zeigt dass die Annahme richtig war.

Wenn du einen Beweis zweiter Art führen willst, musst du deine Annahme beweisen, ohne sie zu verwenden. Aus einer falschen Annahme lässt sich sehr viel schließen. Daher ist dein "Komplementbeweis" auch hinfällig.

[Beowulf]

@Floyd: Wie bitte? Natürlich verwendet man die Annahme im Beweis selber, sonst kann man ja nicht überprüfen, ob diese zu Widersprüchen führt oder nicht.

Nein. Du hast recht damit, dass die "ist Element von"-Relation nicht transitiv ist. Aber das ist kein Problem, nicht-transitive Relationen sind nicht boese oder verboten oder so.

Natürlich sind sie nicht verboten. Aber sie führen halt immer zu einer Antinomie, wenn man diese mehrmals hintereinander verknüpft. Das hat dann aber nichts mehr mit dem eigentlichen Beweis zu tun. Durch meinen Komplement-Beweis habe ich gezeigt, dass durch die Ersetzung der intransitiven Relation "kein Element von" mit der transitiven Relation "Element von" auch automatisch die Widersprüche wegbleiben.

Wieso sollte ich mir ein anderes Betätigungsfeld suchen? Wie gesagt: Jeder hier versteht den Beweis und wuerde mir recht geben, wenn ich sage, dass er so stimmt und vollstaendig ist. Da bin ich doch in guter Gesellschaft. Die Pastoren-Community wuerde mich dagegen wohl viel weniger haben wollen.

Es kommt immer darauf an, welche Schlüsse man aus einem Beweis zieht. Der Beweis mag zwar formal richtig sein, aber die Schlüsse die du daraus ziehst sind es meiner Meinung nach nicht. Die Formulierung eines Paradoxons zeigt eben nicht, ob gewisse Mengen abzählbar sind oder nicht. Auch die Art und Weise, in der du dich auf die "wissenschaftliche Tradition" berufst, lässt vermuten, dass du in Wirklichkeit kein Wissenschaftler bist, der auch mal in der Lage ist mit gewissen Traditionen zu brechen. Die Christenheit beruht auf einer Tradition, die viel älter ist als deine... ist sie demnach nicht "richtiger"?

Die Erkenntnisse, die aus der Antinomie, dem Halteproblem und dem Satz von Cantor erwachsen sind, sind ziemlich gewaltig.

Diese Erkenntnisse kannst du gerne darlegen (muss ja nicht bis ins kleinste Detail geschehen). Das wäre wenigstens mal was produktives!

Du hast kein grundlegendes Problem herausgearbeitet, sondern machst einfach dauernd neue Fässer auf, sobald wir das alte wieder geschlossen haben. Da fällt es schwer daran zu glauben, dass diese Endlosschleife irgendwann abbricht.

Soso, ich mache also ständig neue Fässer auf? Während hier meine Gedanken ständig um die Antinomie kreisen, meinen hier gewisse andere Leute mich darüber aufklären zu müssen, was ein Widerspruchsbeweis ist und was nicht... oder kommen mir auf einmal mit dem Aussonderungsaxiom oder den vieeelen Studenten, die den Beweis auch für richtig halten.

[elevar]

Wie bitte? Natürlich verwendet man die Annahme im Beweis selber, sonst kann man ja nicht überprüfen, ob diese zu Widersprüchen führt oder nicht.

Man verwendet sie in sofern, dass am Anfang die Prämisse und am Ende die Implikation auftauchen, das schon. Dein Beweis aber geht von der Annahme aus und endet mit irgendeiner abgeleiteten Aussage. Das ist kein Beweis.

Diese Erkenntnisse kannst du gerne darlegen (muss ja nicht bis ins kleinste Detail geschehen). Das wäre wenigstens mal was produktives!

http://de.wikipedia.org/wiki/Grundlagen ... Mathematik

Soso, ich mache also ständig neue Fässer auf? Während hier meine Gedanken ständig um die Antinomie kreisen, meinen hier gewisse andere Leute mich darüber aufklären zu müssen, was ein Widerspruchsbeweis ist und was nicht... oder kommen mir auf einmal mit dem Aussonderungsaxiom oder den vieeelen Studenten, die den Beweis auch für richtig halten.

Ich habe auf einen Einwand von dir reagiert, da mir schien, dies sei ein guter Ratschlag. Du machst es dir leichter, wenn du es auch als Ratschlag verstehst, und nicht als einen Treffer beim Fechten.

Während hier meine Gedanken ständig um die Antinomie kreisen

Oh, tun sie das?

Mit den Fässern wollte ich nur zum Ausdruck bringen, dass es schwer fällt, dein grundlegendes Motiv zu erkennen. Nach deiner ursprünglichen Fragestellung kam das Alternativer-Beweis-Faß, das Transitivitätsfaß, das Widerspruchsfreie-Komplemente-Faß. Ich sehe nicht, wie das bei der Beantwortung deiner Frage hilft. Möglicherweise ergibt das für dich Sinn und hat alles miteinander zu tun. Ich sehe da eigentlich nichts Verbindendes. Deswegen fällt es mir auch so schwer, dir weiter zu helfen....

Der Beweis mag zwar formal richtig sein,[...]

...aber das scheint ja auch gar nicht mehr nötig zu sein, wenn ich dich hier richtig verstehe

[DasJan]

Natürlich sind sie nicht verboten. Aber sie führen halt immer zu einer Antinomie, wenn man diese mehrmals hintereinander verknüpft. Das hat dann aber nichts mehr mit dem eigentlichen Beweis zu tun. Durch meinen Komplement-Beweis habe ich gezeigt, dass durch die Ersetzung der intransitiven Relation "kein Element von" mit der transitiven Relation "Element von" auch automatisch die Widersprüche wegbleiben.

Das Wegbleiben von Widerspruechen beweist aber nicht nicht die Richtigkeit einer Aussage.

Betrachten wir die Behauptung 0 = 2. Jetzt ziehe ich von beiden Seiten 1 ab (-1 = 1) und quadriere beide Seiten. Dann steht da 1 = 1, was offenbar richtig ist. Die Praemisse 0 = 2 ist damit aber noch laengst nicht bewiesen. Sie ist sogar falsch.

Uebrigens koennen auch intransitive Relationen hintereinanderstehen: Wenn x = {{1}} ist, y = {1} und z = 1. Dann ist z ∈y ∈ x. Das hat aber wie gesagt nichts mit dem Thema zu tun, sondern ist ein Fass, was du ploetzlich aufgemacht hat.

Es kommt immer darauf an, welche Schlüsse man aus einem Beweis zieht. Der Beweis mag zwar formal richtig sein, aber die Schlüsse die du daraus ziehst sind es meiner Meinung nach nicht.

Die Schluesse, die ich daraus ziehe, sind erst mal genau die: Zu einer Menge X gibt es keine Surjektion f : X -> P(X). Das ist der Satz, der da bewiesen wird. Daraus kann man sicher noch mehr Schluesse ziehen, aber du siehst dieses Ergebnis ja schon nicht ein.

Die Formulierung eines Paradoxons zeigt eben nicht, ob gewisse Mengen abzählbar sind oder nicht.

Ging es hier vorher schon mal um Abzaehlbarkeit oder machst du schon wieder ein neues Fass auf? Um trotzdem darauf zu antworten: Doch. Aus dem Satz folgt sofort, dass die Potenzmenge von einer abzaehlbaren Menge (zum Beispiel den natuerlichen Zahlen) nicht abzaehlbar ist.

Auch die Art und Weise, in der du dich auf die "wissenschaftliche Tradition" berufst, lässt vermuten, dass du in Wirklichkeit kein Wissenschaftler bist, der auch mal in der Lage ist mit gewissen Traditionen zu brechen.

Auf welche Tradition berufe ich mich? Ich berufe mich auf Beweise. Und Beweise beweisen nun mal Dinge. Ich sage nicht "wenn Cantor das behauptet, wird das schon stimmen". Ich sage: Cantor hat das bewiesen, andere haben das auch bewiesen, ich habe den Beweis nachvollzogen, so ziemlich jeder andere Mathematiker hat das auch, und der Beweis ist korrekt. Und wenn der Beweis korrekt ist, dann ist auch die Aussage, die er beweist, korrekt.

Die Christenheit beruht auf einer Tradition, die viel älter ist als deine... ist sie demnach nicht "richtiger"?

Dafuer, dass meine "Tradition" viel juenger ist, hat sie erstaunlich viel mehr Beweise hervorgebracht.

Diese Erkenntnisse kannst du gerne darlegen (muss ja nicht bis ins kleinste Detail geschehen). Das wäre wenigstens mal was produktives!

Elevar hat dir ja schon einen ganz wesentlichen Link gegeben. Das Nachdenken ueber die Antinomie hat dazu gefuehrt, dass die Mathematik formal axiomatisiert (ZF) und damit auf ein stabiles Fundament gestellt wurde. Das war fuer die Disziplin eine enorm wichtige Entwicklung.

Während hier meine Gedanken ständig um die Antinomie kreisen, meinen hier gewisse andere Leute mich darüber aufklären zu müssen, was ein Widerspruchsbeweis ist und was nicht...

Es ist eben wichtig, das zuerst verstanden zu haben, bevor man ueber den Satz von Cantor (bzw. den Beweis dazu) diskutiert.

Das Jan

[Beowulf]

Ich habe auf einen Einwand von dir reagiert, da mir schien, dies sei ein guter Ratschlag. Du machst es dir leichter, wenn du es auch als Ratschlag verstehst, und nicht als einen Treffer beim Fechten.

Ich brauche deine Ratschläge nicht. Du machst es dir leichter, nicht immer nur anderen die Schuld zuzuschieben wenn man in einer Diskussion nicht mehr weiterkommt.

Mit den Fässern wollte ich nur zum Ausdruck bringen, dass es schwer fällt, dein grundlegendes Motiv zu erkennen. Nach deiner ursprünglichen Fragestellung kam das Alternativer-Beweis-Faß, das Transitivitätsfaß, das Widerspruchsfreie-Komplemente-Faß. Ich sehe nicht, wie das bei der Beantwortung deiner Frage hilft. Möglicherweise ergibt das für dich Sinn und hat alles miteinander zu tun. Ich sehe da eigentlich nichts Verbindendes.

Dass du die Verbindung nicht siehst wird da wohl das Hauptproblem sein:
- Alternativer-Beweis: Es gibt intuitivere Möglichkeiten, um zu verdeutlichen, dass die Menge der potentiellen Funktionen viel größer ist als die Größe der Menge selber.
- Widerspruchsfreie-Komplemente und Transitivität: Dadurch, dass man die Intransitivität der Relationen im ursprünglichen Beweis durch die Komplementbildung umgeht und dann dieser auf einmal widerspruchsfrei wird, wird klar, dass der Beweis nicht hinreichend die Überabzählbarkeit von Potenzmengen darlegen kann. Der Beweis führt zwar zu einem Widerspruch, dieser hat aber nichts mit der Überabzählbarkeit zu tun.

Das Wegbleiben von Widerspruechen beweist aber nicht nicht die Richtigkeit einer Aussage.

Dann wäre aber ein Widerspruch auch keine Garantie für die Falschheit einer Aussage. Auf die Interpretation kommt es an.

Uebrigens koennen auch intransitive Relationen hintereinanderstehen: Wenn x = {{1}} ist, y = {1} und z = 1. Dann ist z ∈y ∈ x. Das hat aber wie gesagt nichts mit dem Thema zu tun, sondern ist ein Fass, was du ploetzlich aufgemacht hat.

Ich habe da überhaupt nichts "plötzlich" aufgemacht. Habe ich dich etwa so verwirrt, dass "Element von" auf einmal für dich eine intransitive Relation darstellt? Der Beweis steht und fällt mit dem intransitiven "nicht Element von".

[DasJan]

Ich brauche deine Ratschläge nicht. Du machst es dir leichter, nicht immer nur anderen die Schuld zuzuschieben wenn man in einer Diskussion nicht mehr weiterkommt.

Elevar will dir keine Schuld zuschieben, er will dir - wie ich - begreiflich machen, dass du dich irrst. Wir irren uns alle mal, das ist ja bekanntlich menschlich und erst mal nichts Schlimmes. Wie beharrlich du dich weigerst, deine Irrtümer einzusehen, ist aber schon bemerkenswert.

- Alternativer-Beweis: Es gibt intuitivere Möglichkeiten, um zu verdeutlichen, dass die Menge der potentiellen Funktionen viel größer ist als die Größe der Menge selber.

Statt "Menge der potentiellen Funktionen" meinst du "Potenzmenge". Und Beweise von Aussagen über unendlich große Zahlen können nur dann "intuitiv" sein, wenn du ein intuitives Gefühl für solche Zahlen hast. Das haben wohl die wenigsten, ich jedenfalls nicht.

- Widerspruchsfreie-Komplemente und Transitivität: Dadurch, dass man die Intransitivität der Relationen im ursprünglichen Beweis durch die Komplementbildung umgeht und dann dieser auf einmal widerspruchsfrei wird, wird klar, dass der Beweis nicht hinreichend die Überabzählbarkeit von Potenzmengen darlegen kann. Der Beweis führt zwar zu einem Widerspruch, dieser hat aber nichts mit der Überabzählbarkeit zu tun.

Noch mal: Wieso bringst du plötzlich Überabzählbarkeit ins Spiel? Das hat zwar mit einem Spezialfall des Satzes zu tun, aber eigentlich ging es doch allgemein um den Satz von Cantor. Der sagt etwas über endliche, abzählbar unendliche und auch überabzählbare Mengen aus.

Dann wäre aber ein Widerspruch auch keine Garantie für die Falschheit einer Aussage.

Doch. Wenn aus einer Prämisse ein Widerspruch folgt, ist die Prämisse falsch. Siehe Widerspruchsbeweis.

Habe ich dich etwa so verwirrt, dass "Element von" auf einmal für dich eine intransitive Relation darstellt? Der Beweis steht und fällt mit dem intransitiven "nicht Element von".

Ja, du verwirrst mich, aber so sehr dann auch nicht. "Ist Element von" ist nicht transitiv.

Das Jan

[Beowulf]

Elevar will dir keine Schuld zuschieben, er will dir - wie ich - begreiflich machen, dass du dich irrst. Wir irren uns alle mal, das ist ja bekanntlich menschlich und erst mal nichts Schlimmes. Wie beharrlich du dich weigerst, deine Irrtümer einzusehen, ist aber schon bemerkenswert.

Also ich finde es grenzt schon an Autismus, wie du andere über ihre Irrtümer aufklären willst, ohne selber deine eigenen einzugestehen. Erst das Aussonderungsaxiom, jetzt ist auf einmal "Element von" nicht mehr transitiv:

Ja, du verwirrst mich, aber so sehr dann auch nicht. "Ist Element von" ist nicht transitiv.

Nehmen wir mal dein tolles Beispiel: x = {{1}}, y = {1} und z = 1. Dann ist z Element von y Element von x.
Du darfst dich von irgendwelchen Mengenklammern nicht verwirren lassen. z ist in solchen Fällen immer ein Element eines Elements von x.
Anders folgendes Beispiel: Sei x = {{1}}, y = {2} und z = 1. Dann ist z kein Element von y kein Element von x.
Daraus folgt aber nicht, dass z kein Element eines Elements von x sein kann. Anders formuliert: Von der Beziehung zwischen z und y und zwischen y und x kann man in diesem Fall nicht auf eine Beziehung zwischen z und x schließen.

Genau so verhält es sich mit dem Beweis: Dadurch, dass wir A := {x | x nicht Element von f(x)} definieren, sind Aussagen darüber, ob x0 Element von A oder X/A ist, nicht treffbar. Eine "Lokalisierung" von x0 ist auf diese Weise nicht möglich, aber daraus folgt noch lange nicht die Überabzählbarkeit.

Statt "Menge der potentiellen Funktionen" meinst du "Potenzmenge". Und Beweise von Aussagen über unendlich große Zahlen können nur dann "intuitiv" sein, wenn du ein intuitives Gefühl für solche Zahlen hast. Das haben wohl die wenigsten, ich jedenfalls nicht.

Sind Antinome etwa für dich intuitiver? Und die Menge der Potentiellen Funktionen und die Potenzmenge sind bezüglich des Halteproblems ein und das selbe. Nur aus diesem Grund möchte man ja überhaupt die Potenzmenge abzählbar machen.

Doch. Wenn aus einer Prämisse ein Widerspruch folgt, ist die Prämisse falsch. Siehe Widerspruchsbeweis.

Man muss immer sehr vorsichtig damit sein, was denn ein Beweis nun genau zeigt. Meiner Meinung nach ist die Prämisse bei diesem Beweis nicht ausschlaggebend für die Erzeugung der Widersprüche.

[DasJan]

Nehmen wir mal dein tolles Beispiel: x = {{1}}, y = {1} und z = 1. Dann ist z Element von y Element von x.
Du darfst dich von irgendwelchen Mengenklammern nicht verwirren lassen. z ist in solchen Fällen immer ein Element eines Elements von x.

Nein, nicht nach den Begriffen "Element von" und "Menge", wie die Fachwelt sie heute benutzt (und wie ich sie auch intuitiv finde). z ist nicht Element von x, dazu muesste zum Beispiel x = {{1}, 1} sein.

Um sich ueber solche Zusammenhaenge mit anderen Menschen austauschen koennen, hat sich die Fachwelt auf bestimmte Begrifflichkeiten geeinigt. Wenn man als Mathematiker ueber "Mengen", die "Element-Relation", "Transitivitaet", "Beweis" oder "Surjektivitaet" redet, dann meint jeder Mathematiker auf der Welt dasselbe. Deswegen wird jeder Mathematiker jedem anderen zustimmen, wenn er sagt "das bei Wikipedia ist ein Beweis des Satzes von Cantor" oder "die Element-Relation ist nicht transitiv". Du scheinst in einer begrifflichen Parallelwelt zu leben, in der diese Begriffe einfach anders belegt sind. Und auch wenn es mir hier nicht gelungen ist, diese Begriffswelt wirklich zu verstehen, kann ich nicht mit Sicherheit sagen, dass sie von "innen" nicht irgendwie konsistent ist.

Aber du musst verstehen, dass du, solange du deinen eigenen Begriff von "Transitivitaet" hast und von "Beweis", weder mit der Wikipedia noch mit Mathematikern kompatibel bist und auf diese Weise nichts lernen kannst.

Das Jan

[Beowulf]

Nein, nicht nach den Begriffen "Element von" und "Menge", wie die Fachwelt sie heute benutzt (und wie ich sie auch intuitiv finde). z ist nicht Element von x, dazu muesste zum Beispiel x = {{1}, 1} sein.

Du verschleierst mal wieder die Zusammenhänge. Wenn du den Begriff "Transitivität" derart eng sehen möchtest, dann ist das ganz allein dein Problem. Deine Flucht in irgendwelche "Formfehler" meinerseits zeigt nur dass du keine Gegenargumente hast.
Fakt ist, dass man beim obigen Beispiel einmal eine feste Beziehung zwischen x und z hat, und ein anderes mal nicht. Relationen wie "ungleich" oder "nicht Element von" funktionieren halt nicht über zwei Schritte hinweg. Der Beweis zeigt nur, dass man die Position des x0 nicht auf diese Art bestimmen kann.
Mein Komplement-Beweis zeigt, ohne eine zusätzliche Prämisse zu fordern, dass der Beweis auch ohne Widersprüche enden kann. Und damit habe ich eigentlich auch bewiesen, dass der Beweis über die Prämisse selber keine Aussage trifft. Er ist nicht "hinreichend".

[DasJan]

Du verschleierst mal wieder die Zusammenhänge. Wenn du den Begriff "Transitivität" derart eng sehen möchtest, dann ist das ganz allein dein Problem. Deine Flucht in irgendwelche "Formfehler" meinerseits zeigt nur dass du keine Gegenargumente hast.

Macht es dich nicht mal nachdenklich, dass praktisch jeder das anders sieht als du? (Dass dem so ist, kannst du ueberpruefen, indem du mit irgendwem darueber sprichst, elevar und mir glaubst du es ja nicht.)

Mein Gegenargument lautet: Lies ein Buch deiner Wahl, oder ein Script deiner Wahl, oder von mir aus auch die Wikipedia. Nichts davon wird dir recht geben.

Das Jan

[neon]

Ich habe ja nun wirklich nicht viel Ahnung von Mathematik, aber ich stelle mir gerade vor, wie ein Architekt eine Eigeninterpretation des Begriffs 'stabil' in die Praxis umsetzt und als Folge davon mein Haus einstürzt....

[Bastlwastl]

Wäre Beowulf der Architekt, hätte er trotzdem Recht behalten.

[neon]

Eben, die Allgemeinheit hätte sich einfach nicht seinen Vorstellungen von 'stabil' angepasst, aber das wäre ja nicht sein Problem.

[Beowulf]

Mein Gegenargument lautet: Lies ein Buch deiner Wahl, oder ein Script deiner Wahl, oder von mir aus auch die Wikipedia. Nichts davon wird dir recht geben.

Wenn man nicht seinen eigenen Kopf zum Denken braucht, dann sind solche Bücher oder Scripte natürlich ausreichend. Wenn du bei meinen Komplement-Beweis irgendeinen Fehler entdecken kannst... nur her damit. Aber da ist dir schon die ganze Zeit über nichts eingefallen. Warum ergründest du nicht mal, warum der Beweis in dieser Variation so anders verläuft?
Sorry, aber so ein Möchtegern-Wissenschaftler, der ständig damit argumentiert dass das, was in den Büchern steht, doch unbedingt wahr sein muss, ist einfach nur erbärmlich. Da kannst du noch so sehr über die Religionen die Nase rümpfen, du bist da keinen Deut besser. Bei dir ist auch nur das wahr, was wahr sein darf. Das wundert mich etwas, da die Widersprüche der naiven Mengenlehre doch erwiesen sind... und Cantor ausschließlich mit dieser rumhantiert hat. Warum versuchst du nicht mal, den Beweis aufgrund einer widerspruchsfreien Mengenlehre zu entwickeln? Oder hast du dann die Befürchtung, dass dieser dann auf einmal nicht mehr funktioniert bzw. zulässig ist?

Ich habe ja nun wirklich nicht viel Ahnung von Mathematik

Dann sollte man sich vielleicht mit solchen Kommentaren etwas zurückhalten. "Element von" ist transitiv, da kann Jan noch so sehr auf ein "allgemeines Verständnis" pochen... es kann jeder von euch selber nachprüfen, dass diese Relation auch in der zweiten Stufe noch ganz bestimmte Schlüsse zulässt, während das auf "nicht Element von" nicht zutrifft.

[DasJan]

Wenn du bei meinen Komplement-Beweis irgendeinen Fehler entdecken kannst... nur her damit. ... Warum ergründest du nicht mal, warum der Beweis in dieser Variation so anders verläuft?

Das haben Elevar und ich weiter oben ausgiebig getan.

Das wundert mich etwas, da die Widersprüche der naiven Mengenlehre doch erwiesen sind... und Cantor ausschließlich mit dieser rumhantiert hat.

Der Satz gilt aber trotzdem. Er gilt auch innerhalb von ZF.

Warum versuchst du nicht mal, den Beweis aufgrund einer widerspruchsfreien Mengenlehre zu entwickeln? Oder hast du dann die Befürchtung, dass dieser dann auf einmal nicht mehr funktioniert bzw. zulässig ist?

Es gibt keine "widerspruchsfreie Mengenlehre", in der jeder wahre Satz beweisbar ist. Das war die große Leistung von Gödel.

"Element von" ist transitiv,

Nö.

Das Jan