Adventure-Treff

Hm... meinen Berechnungen zufolge hat das Ding keine Extrema...

Man kann es stupide ausrechnen, indem man einfach beide Ableitungen bildet, jeweils 0 setzt und das Gleichungssystem löst. Da kommt man einfach auf nen Widerspruch.

Es geht noch etwas eleganter, wenn man die Funktion umschreibt:
f(x,y)= 1/3*(x+y)^3 -7x -y

mit der Kettenregel ableiten ergibt:

f 'y(x)= (x+y)^2 -7

f 'x(y)= (x+y)^2 -1

Wenn die gleichzeitig null wären, müsste -7 = -1 gelten. Widerspruch.

Ach mist sorry, da war ein kleiner Fehler in der Gleichung!

statt

f(x,y)=1/3*x^3+x^2*y+x*y^2-7*x+1/3*y^3-y

muss gelten

f(x,y)=1/3*x^3+x^2*y-x*y^2-7*x+1/3*y^3-y

Wenn ich dann gleichsetze komme ich auf:

x=y/2+3/(2*y)

Bei der Substitution verhau ich mich aber immer irgendwo.

Mögliche Extrema sind bei mir: E_1(2|1|-10); E_2(-2|-3|34/3); E_3(2|3|-34/3) und E_4(-2|-1|10)

Ergibt sich aus den beiden Ableitungen:
f 'y(x)= x^2 + 2xy - y^2 -7

f 'x(y)= x^2 - 2xy + y^2 -1 = (x-y)^2 -1

Die letztere Ableitung ist angenehmer, mit der hab ich angefangen:
0=(x - y)^2 -1
(x-y)^2 = 1

Wurzel ziehen liefert zwei Möglichkeiten:
1) x - y = 1 also y = x - 1
2) x - y = -1 also y = x + 1

1) einsetzen in 0 = f 'y(x):
0 = x^2 + 2x(x-1) - (x-1)^2 -7
auflösen nach x und anschließend y berechnen:
x_1 = 2 folglich y_1 = 1
und
x_2 = -2 folglich y_2 = -3


2) einsetzen in 0 = f 'y(x) und auflösen nach x und anschließend y berechnen:
x_3 = 2 und y_3 = 3
und
x_4 = -2 und y_4 = -1


Wenn man die Werte in f(x,y) einsetzt, bekommt man die Punkte, die oben stehen.

Ob das wirklich Extrema sind, berechnet man mit der zweiten Ableitung, aber da hab ich keine Lust mehr zu

Ach verdammt, jetzt hab ichs halt doch ausgerechnet...


Also die zweiten Ableitungen lauten: f ''y(x)= 2x+2y und f ''x(y)= 2y- 2x

Setzten wir die möglichen Extrema jeweils ein, sind es unterschiedliche Vorzeichen für E_1 und E_4, das sind also echte Extrema.

Gleiche Vorzeichen haben wir bei E_2 und E_3, das sind Sattelflächen, also keine Extrema.

*Ente erstarrt in Ehrfurcht*

Mir is total schwindelig...

Ob das wirklich Extrema sind, berechnet man mit der zweiten Ableitung, aber da hab ich keine Lust mehr zu

Es sind so oder so Extremstellen. Mit der zweiten Ableitung errechnet man lediglich, obs eine Minimalstelle oder Maximalstelle ist, nicht wahr?

PS: Ja gut, wer Sattelstellen nicht hinzunehmen möchte, der muss natürlich die zweite Ableitung berechnen. Na, bin ich froh, dass ich mich heutzutage nicht mehr mit sowas rumschlagen muss. Es gibt heutzutage doch so schöne Mathematikprogramme, die numerisch an die Sache rangehen können.

Beowulf hat geschrieben:

Ob das wirklich Extrema sind, berechnet man mit der zweiten Ableitung, aber da hab ich keine Lust mehr zu

Es sind so oder so Extremstellen. Mit der zweiten Ableitung errechnet man lediglich, obs eine Minimalstelle oder Maximalstelle ist, nicht wahr?

PS: Ja gut, wer Sattelstellen nicht hinzunehmen möchte, der muss natürlich die zweite Ableitung berechnen. Na, bin ich froh, dass ich mich heutzutage nicht mehr mit sowas rumschlagen muss. Es gibt heutzutage doch so schöne Mathematikprogramme, die numerisch an die Sache rangehen können.

Nene, die zweite Ableitung braucht man schon auch, um zu schauen, ob es wirklich Extrema sind. Sattelpunkte können es eben auch sein. In der Schule trauen die meisten Lehrer ihren Schüler nur nicht zu, womöglich noch sowas wie Vorzeichenwechselkriterium zu machen, deswegen lassen sie Sattelpunkte gerne weg

Milli hat geschrieben:Ach verdammt, jetzt hab ichs halt doch ausgerechnet...


Also die zweiten Ableitungen lauten: f ''y(x)= 2x+2y und f ''x(y)= 2y- 2x

Setzten wir die möglichen Extrema jeweils ein, sind es unterschiedliche Vorzeichen für E_1 und E_4, das sind also echte Extrema.

Gleiche Vorzeichen haben wir bei E_2 und E_3, das sind Sattelflächen, also keine Extrema.

Vielen dank! Sollte so weit auch richtig sein, aber: Ein Extremum sollte es sein, wenn f''xx>0 und f''yy>0 sowie f''xx*f''yy>(f''xy)^2 bzw. f''xx<0 und f''yy<0 sowie f''xx*f''yy>(f''xy)^2. Ein Sattelpunkt ist es, wenn f''xx*f''yy<(f''xy)^2.

Beowulf hat geschrieben:Es gibt heutzutage doch so schöne Mathematikprogramme, die numerisch an die Sache rangehen können.

Es gibt sogar Mathematikprogramme, die analytisch an die Sache rangehen können.

Das Jan

Dead hat geschrieben:

Milli hat geschrieben:Ach verdammt, jetzt hab ichs halt doch ausgerechnet...


Also die zweiten Ableitungen lauten: f ''y(x)= 2x+2y und f ''x(y)= 2y- 2x

Setzten wir die möglichen Extrema jeweils ein, sind es unterschiedliche Vorzeichen für E_1 und E_4, das sind also echte Extrema.

Gleiche Vorzeichen haben wir bei E_2 und E_3, das sind Sattelflächen, also keine Extrema.

Vielen dank! Sollte so weit auch richtig sein, aber: Ein Extremum sollte es sein, wenn f''xx>0 und f''yy>0 sowie f''xx*f''yy>(f''xy)^2 bzw. f''xx<0 und f''yy<0 sowie f''xx*f''yy>(f''xy)^2. Ein Sattelpunkt ist es, wenn f''xx*f''yy<(f''xy)^2.

Hm icherinnere mich dunkel, dass da noch was war. Dann musst du die beiden anderen wohl nochmal überprüfen, womöglich sinds doch Extrema.