Adventure-Treff

Sorry, aber Du bist Dir nicht im Klaren, was Du eigentlich beweisen willst.

1.)
A => B <=> C

da fehlen Klammern. Ich nehme mal an, Du meinst A => ( B <=> C ), sonst, wirst Du mir zustimmen, paßt das gar nicht.

> Sei A die Aussage "f ist surjektiv", und B der Wikipedia-Beweis. Dann sei C der äquivalente Komplementbeweis.

A ist also die Aussage "Sei X eine Menge. Es gibt eine surjektive Abbildung von X auf die Potenzmenge P(X)"
Auf Wikipedia steht A => False.

> und B der Wikipedia-Beweis

was jetzt? B ist also die Aussage "A => False"? Warum schreibst Du dann B dafür und nicht "A => False"? d.h. was Du meinst ist A => ( (A => False) <=> C ). Ich denke wir stimmen überein, daß das Quatsch ist.

Ich vermute also, Du meinst schlicht, B ist einfach False (denn das ist das Schema des Beweises auf Wikipedia und genauso auch in tausenden von Lehrbüchern)

also beweist Du:
A => ( False <=> C )

Ich bin mir immer noch nicht sicher, was Dein Komplementbeweis aussagen soll. Aber an der Stelle bricht alles zusammen, unabhängig davon ob C jetzt true oder false ist:

1.) Nehmen wir an, Aussage C ist false. Dann steht da:
A => ( False <=> False )
da False <=> False natürlich True ist,
A => True
gdw. not True => not A
gdw. False => not A

Das ist natürlich Quatsch, denn dann hast Du aus False irgendwas gefolgert.

2.) Nehmen wir an, Aussage C ist true. Dann steht da:
A => ( False <=> True )
False <=> True ist natürlich False
Also:
A => False
gdw. True => not A.

A war, so hast Du gesagt die Aussage "A ist die Aussage "Sei X eine Menge. Es gibt eine surjektive Abbildung von X auf die Potenzmenge P(X)"

Also ist not A die Aussage "Sei X eine Menge. Es gibt _k_eine surjektive Abbildung von X auf die Potenzmenge P(X)"

Damit hast Du auf sehr komplizierte Weise gezeigt, was alle die ganze Zeit hier behaupten.

Also, wenn Du mir nicht zustimmst, wäre es sehr gut, wenn Du
1.) Ein klares Beweisschema anhand von Boolscher Logik definierst
2.) Jede Boolsche Variable mit einer Aussage instanziierst.

Wenn Du einen Widerspruch in der Theorie zeigen willst, dann musst Du gleichzeitig z.B. X and not X zeigen.
Natürlich ist das das Gleiche wie True => (X and not X)
aber das ist nicht das Gleiche wie A => (X and not X)
Denn dazu müsste man vorher schon bewiesen haben, daß A gilt, also True ist.

ach ja, nochwas

Beowulf hat geschrieben:Danke interrozitor für deine ausführliche Antwort.

Was die logischen Schlussfolgerungen angeht, ist folgendes sehr wichtig: Ein Paradoxon bedeutet, dass eine wahre Aussage äquivalent zu einer falschen Aussage ist.

Nein, es muss sich schon um _die gleiche_ Aussage handeln, einmal negiert, einmal nicht negiert. Also sei A diese Aussage. Dann muss man zeigen A and (not A). Was das gleiche ist, wie A <=> ( not A )

Da helfen auch die kompliziert hergeleiteten Logikkonstruktionen nichts, da du immer von der Kernaussage ausgehst, über die man aber keine Aussage treffen kann.

Moment. Bitte bring nicht Aussagenlogik und ZFC-Mengenlehre durcheinander. Ich benutze hier Aussagenlogik nur, um Deine Aussagen explizit aufzuschreiben. Da Du es bisher vermieden hast, mathematisch präzise Aussagen zu treffen, ist Aussagenlogik hilfreich, um zu verstehen, was Du eigentlich sagen willst. Korrektheit und Vollständigkeit der Aussagenlogik hängen in keiner Weise von den Axiomen der Mengenlehre ab.

interrozitor hat geschrieben: 1.)
A => B <=> C
da fehlen Klammern. Ich nehme mal an, Du meinst A => ( B <=> C ), sonst, wirst Du mir zustimmen, paßt das gar nicht.

Klammern sind hier nicht nötig. Äquivalente Ausdrücke sind austauschbar. Hier ist A keine notwendige Voraussetzung dafür, dass B und C äquivalent sind. Die Äquivalenz ergibt sich von selbst, daher müssen hier keine Klammern gesetzt werden. Wichtig ist hier, dass aus B = false auch C = false folgen muss. Denn wir können uns sicher darüber einigen, dass false <=> true nicht sein kann. Das ganze andere Brimborium kannst du dir sparen.
Wenn man die Elemente einer Menge "lokalisieren" kann, muss dies auch beim Komplement funktionieren. Denn nach der Bildung der komplementären Menge müsste man von dieser wieder nur das Komplement bilden, um die ursprüngliche Menge zu erhalten. Dies klappt aber irgendwie nicht, was vermuten lässt, dass man von dieser speziellen Menge zwar das Komplement bilden kann, aber nicht die Ursprungsmenge.

interrozitor hat geschrieben:Nein, es muss sich schon um _die gleiche_ Aussage handeln, einmal negiert, einmal nicht negiert. Also sei A diese Aussage. Dann muss man zeigen A and (not A). Was das gleiche ist, wie A <=> ( not A )

Da muss ich dir widersprechen. Du kannst es gerne mit deiner Boolschen Logik durchexerzieren, aber false wird niemals äquivalent zu true sein können, außer es handelt sich um ein Paradoxon. Dies ist eben nun mal die Natur von Äquivalenzumformungen, das sind Umformungen, welche den Wahrheitswert einer Gleichung nicht verändern.
Seien a und b zwei Zahlen, dann wird die Gleichung a = b durch keine Äquivalenzumformung der Welt ihren Wahrheitswert ändern. Ist a = b, dann ist z.B. auch 5a + 3 = 5b + 3. Und kann man ein Komplement bilden, kann man auch immer die ursprüngliche Menge bilden.

Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du daher deinen Blick auch mal auf das Paradoxon richten würdest, anstatt mir ständig einen Fehler in der Beweiskette nachweisen zu wollen.

interrozitor hat geschrieben:Korrektheit und Vollständigkeit der Aussagenlogik hängen in keiner Weise von den Axiomen der Mengenlehre ab.

Das mag sein, aber die Aussagenlogik hat aber auch keinen Einfluss auf die Bildung von paradoxen Klassen. Oder willst du etwa bestreiten dass es Paradoxien gibt?
Um mal auf Gödelsches Unvollständigkeitssatz zurückzukommen: Für komplexere logische Systeme (z. B. Mengenlehre) ist es aber unmöglich, einen vollständigen Kalkül aufzustellen, der auch korrekt ist.

Beowulf hat geschrieben:

interrozitor hat geschrieben: 1.)
A => B <=> C
da fehlen Klammern. Ich nehme mal an, Du meinst A => ( B <=> C ), sonst, wirst Du mir zustimmen, paßt das gar nicht.

Klammern sind hier nicht nötig. Äquivalente Ausdrücke sind austauschbar.

Wenn keine Klammern nötig sind, kann man beliebig Klammern setzen, denn die Reihenfolge, wie man den Ausdruck auswertet, spielt dann keine Rolle. Also ist für Dich hier A => ( B <=> C ) äquivalent mit (A => B) <=> C??? Nochmal, was ist "B", was ist "C"???

Hier ist A keine notwendige Voraussetzung dafür, dass B und C äquivalent sind. Die Äquivalenz ergibt sich von selbst, daher müssen hier keine Klammern gesetzt werden.

Dann spielt A überhaupt keine Rolle. Du willst B <=> C beweisen. Das sind zwei Aussagen, nämlich B => C und C => B.
Was ist B, was ist C für eine Aussage???

Wichtig ist hier, dass aus B = false auch C = false folgen muss.

Der Satz ergibt keinen Sinn, sorry. Wenn B falsch, kannst Du alles aus folgern.

interrozitor hat geschrieben:Nein, es muss sich schon um _die gleiche_ Aussage handeln, einmal negiert, einmal nicht negiert. Also sei A diese Aussage. Dann muss man zeigen A and (not A). Was das gleiche ist, wie A <=> ( not A )

Da muss ich dir widersprechen. Du kannst es gerne mit deiner Boolschen Logik durchexerzieren, aber false wird niemals äquivalent zu true sein können, außer es handelt sich um ein Paradoxon.

Wir reden aneinander vorbei. wenn Du zwei Aussagen hast, sagen wir A und B und Du willst zeigen das A and B gilt, dann kannst Du auch stattdessen A <=> B zeigen. Das das logisch äquivalent ist, willst Du ja nicht durchexerziert bekommen ok. Der Punkt ist: Ob Du jetzt ein Paradoxon zeigst, in dem Du A and not A beweist, oder ob Du ein Paradoxon zeigst, indem Du A gdw. not A beweist: Ist die gleiche Aussage.

Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du daher deinen Blick auch mal auf das Paradoxon richten würdest, anstatt mir ständig einen Fehler in der Beweiskette nachweisen zu wollen.

Ich habe bisher auf mehreren Seiten kein Paradoxon, geschweige denn einen Beweis gefunden. Ich will Dir keinen Fehler nachweisen, ich bemühe mich wirklich zu verstehen, _was_ Du überhaupt beweisen und _wie_ Du das Paradox zeigen möchtest. Wenn ich das verstehen würde, könnten wir anfangen über die einzelnen Beweisschritte zu sprechen.
Aussagenlogik ist ein Mittel, sich darüber überhaupt klar zu werden. Und sorry, aber Du scheinst Dir überhaupt nicht im Klaren zu sein, was Du überhaupt beweisen willst.

Beginnen wir bei Aussage "Sei X eine Menge. Es gibt eine surjektive Abbildung von X auf die Potenzmenge P(X)"
Ich nenne diese Aussage "A". Auf Wikipedia steht A => False.
WAS WILLST DU ZEIGEN?

interrozitor hat geschrieben:Korrektheit und Vollständigkeit der Aussagenlogik hängen in keiner Weise von den Axiomen der Mengenlehre ab.

Das mag sein, aber die Aussagenlogik hat aber auch keinen Einfluss auf die Bildung von paradoxen Klassen. Oder willst du etwa bestreiten dass es Paradoxien gibt?

Selbstverständlich gibt es Klassen.

Um mal auf Gödelsches Unvollständigkeitssatz zurückzukommen: Für komplexere logische Systeme (z. B. Mengenlehre) ist es aber unmöglich, einen vollständigen Kalkül aufzustellen, der auch korrekt ist.

Und? Der besagt also, daß ein Kalkül über einem komplexeren mathematischen System entweder unvollständig oder widersprüchlich ist.

Dazu:
1.) ZFC ist bisher widerspruchsfrei. Bisher hat noch niemand einen Widerspruch gefunden. (außer Beowulf) [widerspruchsfrei]
2.) Es gibt Sätze in ZFC, die weder beweis- noch widerlegbar sind. [unvollständig]

Also völlig im Einklang mit Gödel. Widerspruchsfrei, dafür unvollständig.

Völlig unabhängig davon:
Aussagenlogik ist im Gödelschen Sinne nicht komplex genug, ist nämlich widerspruchsfrei und vollständig. Und daher praktisch, um zu beschreiben, was man eigentlich beweisen will und welchen Beweisansatz man will.

Es wäre nach wie vor hilfreich, wenn Du aufschreiben würdest, was Du überhaupt beweisen willst. Also, um ganz konkret zu werden, einen Beweis im Stil von:

Es gelten Voraussetzungen V1 = "...", V2 = "..." etc.
Ich zeige Aussage "A = " durch direkten Beweis also
V1 AND V2 => A
Beweis:
Aus V1 folgt...
usw.

oder
Es gelten Voraussetzungen V1 = "...", V2 = "..." etc.
Ich zeige Aussage "A = " durch indirekten Beweis also
((not A) AND V1 AND V2 ) => False

Also das was man so im ersten Semester macht...

Ansonsten ist es wirklich müßig weiter zu diskutieren, weil hier alle raten müssen, was Du meinst. Erst wenn Du formal aufschreibst, was Du zeigen willst, ist es überhaupt möglich Deinen Beweis zu diskutieren. Und der ist halt falsch, auch wenn Du das nicht wahrhaben möchtest.

interrozitor hat geschrieben:Wenn keine Klammern nötig sind, kann man beliebig Klammern setzen, denn die Reihenfolge, wie man den Ausdruck auswertet, spielt dann keine Rolle. Also ist für Dich hier A => ( B <=> C ) äquivalent mit (A => B) <=> C??? Nochmal, was ist "B", was ist "C"???

Du bringst da vieles durcheinander. Man kann Klammern nicht beliebig setzen, denn dadurch entfremdet man den Sinn.

A => ( B <=> C ) bedeutet, dass für die Gültigkeit von A die Äquivalenz von B und C notwendig ist.

A => B <=> C bedeutet lediglich, dass B notwendig für A ist, und dass B äquivalent zu C ist.

Und genau auf letzteres spiele ich die ganze Zeit an. Wenn man A erstmal außen vor lässt und nur B und C betrachtet, wird klar, dass hier ein Paradoxon vorliegt. Und Paradoxien sind stets ein sehr schlechtes Indiz für die Überabzählbarkeit... es sei denn, die Möglichkeit, ein Paradoxon zu bilden, sei generell ein Beweis für diese. Aber derartiges habe ich hier noch von niemanden gehört.
Ein Paradoxon bedeutet, dass wahre und falsche Aussagen austauschbar werden. Somit sind aber nach meinem Verständnis leider auch Widerspruchsbeweise nicht zu führen, da jederzeit der Widerspruch durch einen Fürspruch ersetzt werden kann, also unklar ist, ob eine notwendige Bedingung erfüllt ist oder nicht.

interrozitor hat geschrieben:Dann spielt A überhaupt keine Rolle. Du willst B <=> C beweisen. Das sind zwei Aussagen, nämlich B => C und C => B.Was ist B, was ist C für eine Aussage???

B ist der ursprüngliche Beweis, der zeigen möchte, ob in der Menge bzw. Klasse M: {x | x ∉ f(x)} ein x0 lokalisiert werden kann, mit f(x0) = M.
C ist der modifizierte Beweis, der zeigen möchte, ob dies alles für das Komplement M´: {x | x ∈ f'(x)} funktioniert, wobei f´ die komplementäre Funktion zu f ist.
Du kannst gerne versuchen, die Nichtäquivalenz zu beweisen, meiner Meinung nach spricht aber nichts gegen die Äquivalenz von B und C. Und genau dies ist der Punkt, in der sich in meinen Augen das Paradoxon zeigt.

interrozitor hat geschrieben:WAS WILLST DU ZEIGEN?

Dass zum Bestätigen des Widerspruchsbeweises auf ein Paradoxon zurückgegriffen wird. Auch wollte ich zeigen, dass zum Durchführen dieses Beweises auf eine Klasse zurückgegriffen wird, in der Prämisse aber lediglich von Mengen und Potenzmengen die Rede ist.

interrozitor hat geschrieben:Aussagenlogik ist im Gödelschen Sinne nicht komplex genug, ist nämlich widerspruchsfrei und vollständig. Und daher praktisch, um zu beschreiben, was man eigentlich beweisen will und welchen Beweisansatz man will.

Nur indirekt, da man in die Aussagenlogik Begriffe einsetzt, die selber nicht mehr widerspruchsfrei sein müssen. Man substituiert.

interrozitor hat geschrieben:1.) ZFC ist bisher widerspruchsfrei. Bisher hat noch niemand einen Widerspruch gefunden. (außer Beowulf) [widerspruchsfrei]

Dies ist eine Unterstellung von dir. Ich habe schon mehrmals erwähnt, dass bei ZFC die Russelsche Klasse in die Allklasse übergeht, und somit auch die Widersprüche verschwinden.

interrozitor hat geschrieben:Ansonsten ist es wirklich müßig weiter zu diskutieren, weil hier alle raten müssen, was Du meinst.

Wenn du dir diese dümmliche Polemik sparst, wäre dies sicher zweckdienlicher. Schließlich könnte ich auch polemisch werden und dir mangelnde Auffassungsgabe vorwerfen, oder?

Beowulf hat geschrieben: Du bringst da vieles durcheinander. Man kann Klammern nicht beliebig setzen, denn dadurch entfremdet man den Sinn.

Du schriebst, es seien keine Klammern nötig. Wenn keine Klammern nötig sind, darf ich natürlich beliebig Klammern setzen.

A => ( B <=> C ) bedeutet, dass für die Gültigkeit von A die Äquivalenz von B und C notwendig ist.

A => B <=> C bedeutet lediglich, dass B notwendig für A ist, und dass B äquivalent zu C ist.

=> und <=> binden gleich stark. Wenn Du keine Klammern benutzt, ist die Auswertung von A => B <=> C nicht definiert.
Ansonsten sind die beiden Sätze oben kompletter Nonsens.

Und genau auf letzteres spiele ich die ganze Zeit an. Wenn man A erstmal außen vor lässt und nur B und C betrachtet, wird klar, dass hier ein Paradoxon vorliegt. Und Paradoxien sind stets ein sehr schlechtes Indiz für die Überabzählbarkeit... es sei denn, die Möglichkeit, ein Paradoxon zu bilden, sei generell ein Beweis für diese. Aber derartiges habe ich hier noch von niemanden gehört.
Ein Paradoxon bedeutet, dass wahre und falsche Aussagen austauschbar werden. Somit sind aber nach meinem Verständnis leider auch Widerspruchsbeweise nicht zu führen, da jederzeit der Widerspruch durch einen Fürspruch ersetzt werden kann, also unklar ist, ob eine notwendige Bedingung erfüllt ist oder nicht.

Alles komplett irrelevant, da weder klar ist, was A, B und C sind, noch welche Aussage Du zeigen willst.

interrozitor hat geschrieben:Dann spielt A überhaupt keine Rolle. Du willst B <=> C beweisen. Das sind zwei Aussagen, nämlich B => C und C => B.Was ist B, was ist C für eine Aussage???

B ist der ursprüngliche Beweis, der zeigen möchte, ob in der Menge bzw. Klasse M: {x | x ∉ f(x)} ein x0 lokalisiert werden kann, mit f(x0) = M.
C ist der modifizierte Beweis, der zeigen möchte, ob dies alles für das Komplement M´: {x | x ∈ f'(x)} funktioniert, wobei f´ die komplementäre Funktion zu f ist.

B und C müssen Aussagen sein. "der ursprüngliche Beweis, der zeigen möchte, ob in der Menge bzw. Klasse M: {x | x ∉ f(x)} ein x0 lokalisiert werden kann, mit f(x0) = M" ist keine Aussage. Nur als Beispiel, eine Aussage wäre z.B.

"Sei X eine Menge und f:X -> P(X) eine surjektive Funktion. Definiere M = {x \in X | x ∉ f(x)}. Dann existiert ein y \in M mit f(y)=M"

Ob diese Aussage stimmt ist dann eine andere Frage.

Du kannst gerne versuchen, die Nichtäquivalenz zu beweisen, meiner Meinung nach spricht aber nichts gegen die Äquivalenz von B und C. Und genau dies ist der Punkt, in der sich in meinen Augen das Paradoxon zeigt.

Du hast immer noch nicht gesagt, welche Aussagen B bzw. C sind. Noch hast Du gesagt, was Du zeigen möchtest (s.o.)

interrozitor hat geschrieben:WAS WILLST DU ZEIGEN?

Dass zum Bestätigen des Widerspruchsbeweises auf ein Paradoxon zurückgegriffen wird. Auch wollte ich zeigen, dass zum Durchführen dieses Beweises auf eine Klasse zurückgegriffen wird, in der Prämisse aber lediglich von Mengen und Potenzmengen die Rede ist.

Sorry, das ist Gelaber. An welcher Stelle im Beweis wird ein Paradoxon benutzt? Konkret? An welcher Stelle wird inkorrekt von welcher Aussage auf welche Aussage geschlossen? Alle Schritte im Beweis (z.B. auf Wikipedia) sind korrekt, da sie entweder aus den Axiomen von ZFC folgen (Aussonderungsaxiom, siehe DasJans Posting) oder aus der Annahme.

interrozitor hat geschrieben:Aussagenlogik ist im Gödelschen Sinne nicht komplex genug, ist nämlich widerspruchsfrei und vollständig. Und daher praktisch, um zu beschreiben, was man eigentlich beweisen will und welchen Beweisansatz man will.

Nur indirekt, da man in die Aussagenlogik Begriffe einsetzt, die selber nicht mehr widerspruchsfrei sein müssen. Man substituiert.

Was ist indirekt? indirekt praktisch? indirekt widerspruchsfrei? indirekt vollständig? An welcher Stelle tauchen Substitutionen auf? Reden wir von Prädikatenlogik? Der Satz ergibt null Sinn. Ich will (verzweifelt) versuchen zu verstehen, welchen Beweisansatz Du verwendest bzw. welches Beweisschema. Danach kann man sich darüber unterhalten ob das korrekt ist oder nicht.

interrozitor hat geschrieben:1.) ZFC ist bisher widerspruchsfrei. Bisher hat noch niemand einen Widerspruch gefunden. (außer Beowulf) [widerspruchsfrei]

Dies ist eine Unterstellung von dir. Ich habe schon mehrmals erwähnt, dass bei ZFC die Russelsche Klasse in die Allklasse übergeht, und somit auch die Widersprüche verschwinden.

also ist ZFC widerspruchsfrei. Also kein Widerspruch zu Gödel. Was wolltest Du jetzt nochmal sagen?

interrozitor hat geschrieben:Ansonsten ist es wirklich müßig weiter zu diskutieren, weil hier alle raten müssen, was Du meinst.

Wenn du dir diese dümmliche Polemik sparst, wäre dies sicher zweckdienlicher. Schließlich könnte ich auch polemisch werden und dir mangelnde Auffassungsgabe vorwerfen, oder?

Offenbar empfindest Du das als Polemik. War überhaupt nicht so gemeint.
Da Du jedoch konsequent darauf verzichtest, Deine Gedanken formal auf zuschreiben, keine mathematische Notation verwendest und ganz offensichtlich nicht verstehst, was eine Aussage im mathematischen Sinne ist, ist es unmöglich darüber zu diskutieren, ob Deine Gedankengänge korrekt sind oder fehlerhaft. Du redest in sehr schwammiger Art mit natürlicher Sprache über mathematische Dinge und das ist bound to fail.
Weil niemand verstehen kann, was Du überhaupt zeigen möchtest, kann Dir auch niemand zeigen, an _welcher_ Stelle Deiner Argumentation eine Fehler ist.

Ich melde mich daher auch ab aus der Diskussion, denn das führt zu nichts. Mein Literaturtip an diesem Abend ist "How To Prove It: A Structured Approach" von D.J.Velleman (sehr geeignet für Undergrads oder ambitionierte Hobbymathematiker) und "Computability: An Introduction to Recursive Function Theory" von Nigel Cutland.

Warum schreibst du erst so einen ellenlangen Beitrag, wenn du doch meinst dass dies zu nichts führt? Meinst du etwa, du allein entscheidest, wann eine Diskussion beendet ist?

Mit etwas gutem Willen deinerseits hätten wir eine fruchtbare Diskussion führen können. Stattdessen flüchtest du dich in Kleinkariertheit.

interrozitor hat geschrieben:Sorry, das ist Gelaber. An welcher Stelle im Beweis wird ein Paradoxon benutzt? Konkret? An welcher Stelle wird inkorrekt von welcher Aussage auf welche Aussage geschlossen? Alle Schritte im Beweis (z.B. auf Wikipedia) sind korrekt, da sie entweder aus den Axiomen von ZFC folgen (Aussonderungsaxiom, siehe DasJans Posting) oder aus der Annahme.

Du weißt aber schon, dass das ZFC erst nach Cantor entwickelt wurde? Und dass M eine Klasse ist? Und dass das Aussonderungsaxiom nur einstellige Prädikate zulässt? Vielleicht solltest du dich mit den Büchern, die du vorschlägst, mal etwas genauer beschäftigen.

Dass das Komplement M´ eine echte Klasse ist, sieht man erst, wenn man f(x) im konkreten Abbildungsfall substituiert:
M´: {x | x ∈ f(x)}
Sei f(x0) = M´, und T´ ein Teilbereich von M´ für den gilt:
T´: {x | x = x0 ∧ x ∈ f(x)} => T´: {x0 | x0 ∈ M´}
Die Teilmenge T´ = {x0} besitzt also lediglich die Eigenschaft, dass das x0 ein Element von M´ ist. Dies gilt aber für alle möglichen x0. Und da alle Teilmengen nur Elemente besitzen, die auch zur übergeordneten Menge gehören, haben wir es hier mit der Allklasse zu tun.

Schauen wir uns nun M mal genauer an:
M: {x | x ∉ f(x)}
Sei f(x0) = M, und T ein Teilbereich von M für den gilt:
T: {x | x = x0 ∧ x ∉ f(x)} => T: {x0 | x0 ∉ M}
Hier besitzt die Teilmenge die Eigenschaft, dass es keine Elemente der übergeordneten Menge enthält. Und dies kann nicht sein.

Ich widerspreche mir selbst und antworte noch mal, da das schon in etwa nach einem Versuch einen Beweis aufzuschreiben aussieht.

Dass das Komplement M´ eine echte Klasse ist, sieht man erst, wenn man f(x) im konkreten Abbildungsfall substituiert:
M´: {x | x ∈ f(x)}

f ist nicht gebunden. Wie sicherst Du die Existenz von f?

Sei f(x0) = M´, und T´ ein Teilbereich von M´ für den gilt:
T´: {x | x = x0 ∧ x ∈ f(x)} => T´: {x0 | x0 ∈ M´}

x0 ist nicht gebunden. f ist nicht gebunden.

Die Teilmenge T´ = {x0} besitzt also lediglich die Eigenschaft, dass das x0 ein Element von M´ ist.

Also kurz T' = M.

Dies gilt aber für alle möglichen x0.

Also doch alle x0?

Ich versuche das mal als mathematischen Beweis zu schreiben:

Aussage A: "Sei X eine Menge. Es existiert eine surjektive Funktion f mit f(X) nach P(X)."

Aussage B: Die Menge M´: {x \in X | x ∈ f(x)} existiert

Aussage C: Die Menge X0 = { x0 \in X | f(x0) = M´} existiert.

Aussage D: X0 = M'

Aussage E: X0 ist die Allklasse

Du zeigst A => B AND B => C AND C => D AND D => E

Oder kürzer: A => E

Ohne auch nur ansatzweise betrachtet zu haben, ob Deine Schlussfolgerungen korrekt sind, hättest Du, selbst wenn alle Deine Schritte korrekt sein sollten gezeigt, daß wenn A gilt, auch E gilt. E ist offensichtlich eine Widerspruch, denn die Allklasse ist keine Menge nach ZFC (das ist bewiesen), Du hast sie jedoch mit Hilfe der Annahme und den Axiomen von ZFC gebildet. Also kurz: da steht: Aus A folgt ein Widerspruch. (A => FALSE)

Herzlichen Glückwunsch für diesen interessanten Beweis von not A, also der Aussage "Sei X eine Menge. Es gibt _keine_ surjektive Funktion f mit f(X): X nach P(X)

interrozitor hat geschrieben:f ist nicht gebunden. Wie sicherst Du die Existenz von f?

Gerade der Umstand, dass f nicht gebunden ist, macht die Zweistelligkeit des Prädikates aus.
Man kann nicht entscheiden, ob M: {x | x ∉ f(x)} eine Menge ist, solange nicht genau geklärt ist, was f überhaupt ist.
Wir setzen beim Beweis erst einmal die Existenz von f voraus (denn nur existierende Funktionen können surjektiv sein ), und schauen dann, ob es zu einem Widerspruch kommt.

interrozitor hat geschrieben:Also kurz T' = M.

Nein. T bzw. T´ enthält immer nur ein Element. Aber man kann z.B. alle T´ zusammenfassen, z.B. zur Menge U´, für die gilt: U´: {x | x ∈ U´}

interrozitor hat geschrieben:Du hast sie jedoch mit Hilfe der Annahme und den Axiomen von ZFC gebildet.

Nein, wie gesagt, Cantor kannte ZFC noch nicht. Und wie ich schon sagte, geschieht die Bildung von M nicht im Einklang mit den Axiomen von ZFC. Denn wenn dies so wäre, hätte man keine Allklasse bilden können.

Beowulf hat geschrieben:

interrozitor hat geschrieben:f ist nicht gebunden. Wie sicherst Du die Existenz von f?

Gerade der Umstand, dass f nicht gebunden ist, macht die Zweistelligkeit des Prädikates aus.
Man kann nicht entscheiden, ob M: {x | x ∉ f(x)} eine Menge ist, solange nicht genau geklärt ist, was f überhaupt ist.
Wir setzen beim Beweis erst einmal die Existenz von f voraus (denn nur existierende Funktionen können surjektiv sein ), und schauen dann, ob es zu einem Widerspruch kommt.

- Wenn Du die Existenz von f voraussetzt (Annahme), existiert f. Dann ist x ∉ f(x) selbstverständlich ein einstelliges Prädikat und M existiert mit Aussonderungsaxiom und durch die Existenz von f.
- Wenn Du die Existenz von f nicht voraussetzt, kannst Du die Menge M nicht bilden, da x ∉ f(x) kein entscheidbares Prädikat ist - f existiert ja nicht. An der Stelle ist dann sofort Schluss im Beweis(ansatz). Über die Existenz von f hat man dann gar nichts ausgesagt.

Du verstehst nicht, was in der Mathematik ein "Beweis durch Widerspruch" ist. Unter anderem deswegen bist Du auch nicht in der Lage, einen Beweis formal aufzuschreiben.

Ich melde mich ab. Endgültig. Ich dachte zuerst, Du betrachtest ernsthaft das Problem. Offenbar ist das hier aber eher so eine Art "Higher-Level-Trollerei (TM)"

Interrozitor, warum so gereizt? Nur weil du etwas nicht verstehst, brauchst du anderen nicht zu unterstellen, dass sie nichts besseres zu tun hätten als dich zu ärgern...

interrozitor hat geschrieben:Wenn Du die Existenz von f voraussetzt (Annahme), existiert f. Dann ist x ∉ f(x) selbstverständlich ein einstelliges Prädikat und M existiert mit Aussonderungsaxiom und durch die Existenz von f.

Nein, eben nicht. f(x) ist nicht nur vom x, sondern auch vom f abhängig. Und gerade durch die folgende Beweiskette von Cantor, in der f durch die Bedingung f(x0) = M etwas mehr "Form" gegeben wird, zeigt sich das Paradoxon. Es ist naiv anzunehmen, dass man durch die Existenz von f(x) allein schon alles über diese Funktion weiß.

Daher: Es kommt nicht nur auf Aussagenlogik & Co. an, sondern auch auf die richtige Interpretation eines Ergebnisses.